Was sind Fraktale? Eine kurze Einführung

Der Umgang mit Fraktalen begann im Jahre 1926, als sich der Physiker und Meteorologe Lewis Fry Richardson eine besondere Frage stellte. Der spätere Spezialist für eine Vermeidung bewaffneter Konflikte wollte wissen, ob turbulenter Wind eine Geschwindigkeit entwickelt. Diese Frage erscheint zwar im ersten Moment lapidar. Allerdings ist diese Frage mit dem Problem verbunden, wie die Geschwindigkeit des Windes gemessen werden kann. Zugleich wollte Richardson in Erfahrung bringen, ob das Ergebnis der Messungen von der Größe genutzter Windräder abhängt. Diese These hat sich bestätigt. Turbulente Strömung weist ein zeitlich sowie räumlich kompliziertes Muster auf und gilt dementsprechend als fraktal.

Nähere Definitionen in den 1970er Jahren

Spätestens um die 1970er Jahre sicherte der Mathematiker Benoit Mandelbrot dem Begriff “Fraktal” einen festen Platz in der Welt der Wissenschaft. Seitdem sind Fraktale als natürlich erscheinende Muster bekannt, die in der mathematischen Theorie und Natur eine wichtige Rolle spielen.

Fraktale gelten als ausgedehnte Objekte, die einer gebrochenen und dementsprechend keiner ganzzahligen räumlichen Dimension zuordenbar sind.

Zur Bestimmung dieser Größe wird um einen beliebigen Punkt eine Kugel samt dem Radius R festgelegt. Variiert der Radius der imaginären Kugel, passt sich die darin befindliche Masse der gewöhnlichen dreidimensionalen Objekte so wie R³ automatisch an. Für ein fraktales Objekt gilt hingegen das Resultat Rd, bei dem die Dimension d allerdings keinen ganzzahligen Wert einnimmt.

Beispiele für Fraktale

Die Bildung derartiger Gestalten ist in der Natur nahezu immer mit derartigen nicht ganzzahligen und fraktalen Dimensionen verbunden. Ein Beispiel ist eine gezackte Küstenlinie, deren fraktale Dimension d für gewöhnlich etwas größer als 1 ist. Die in Luftturbulenzen aufkommende Wirbelintensität ist ebenfalls an einem Fraktal erkennbar. Zudem sind in der Lunge angelegte Luftkanäle oder Pflanzen, zum Beispiel verästelte Bäume oder der Romanesco-Kohl,  klassische Beispiele einer fraktalen Struktur.

Werden fraktale Objekte unter veränderlichen Maßstäben wie durch Zoom-Objektive betrachtet, wird verdeutlicht, dass binnen der Grenzen keine Längenskala als besonders ausgeprägt gilt. Deshalb sehen sich beliebige Objektteile bei einer entsprechenden Vergrößerung im Vergleich mit dem komplexen Objekt sehr ähnlich. Bei diesem Phänomen ist von der Selbstähnlichkeit fraktaler Strukturen die Rede. Im Gegenzug ist die absolute Größe der Gegenstände ohne zusätzliche äußere Maßstäbe oder Anhaltspunkte nicht erkennbar.

Viele offene Fragen

Lohnenswert ist außerdem ein Vergleich sogenannter selbstähnlicher physikalischer Fraktale mit Magneten oder Flüssigkeiten, deren Korrelationslänge sich an Phasenübergängen über sämtiche Grenzen hin ausdehnt. Hierbei wird deutlich, dass derartige Vielteilchensysteme ein komplett analoges Skalenverhalten aufweisen.

Jedoch stellt sich bei zahlreichen fraktalen Strukturen noch immer die Frage, von welchen Systemeigenschaften die fraktale Dimension abhängig ist.

Eine Überprüfung in stürmischer Atmosphäre oder in Rohren aufkommender turbulenter Strömungen ergab, dass zwischen nichtlinearen Bewegungsgleichungen sowie sich daraus ergebenden fraktalen Strukturen durchaus ein Zusammenhang besteht. Dennoch besteht noch immer wissenschaftlicher Nachholbedarf, um die fraktale Welt in Verbindung mit atomaren Wechselwirkungen sowie Naturgesetzen nachzuvollziehen und zu berechnen.